二项期权定价模型（Binomial Options Pricing Model）简介

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本文将介绍二项期权定价模型（Binomial Options Pricing Model，BOPM）的思想和风险中性定价（Risk-Neutral Valuation）的原理。

期权/选择权（option）定价比股票、债券、期货、掉期/互换/交换（swap）更加复杂，著名的布莱克-休斯-墨顿模型（Black-Scholes-Merton model，BSM）因其对期权/选择权（option）定价的贡献而荣获1997年诺贝尔经济学奖。本文将介绍一种比BSM简单的期权/选择权（option）定价方法——二项期权定价模型（Binomial Options Pricing Model，BOPM）（也称为二叉树（binary tree）期权定价模型）。本质上说，BOPM和BSM是一致的，对BOPM取极限就会得到BSM的结果。


二项期权定价模型（BINOMIAL OPTIONS PRICING MODEL，BOPM）
BOPM的思想是假设期权的标的资产价格在一段时间T後只有两种结果，通过构造标的资产和欧式期权（European option）的组合，使组合的收益没有任何不确定性，这样就转化成对一项产生确定性现金流的资产进行定价，也就是使用无风险利率对现金流进行贴现，从而得到组合在投资期初的价格。

举例来说，假设某无股息股票今天（t=0）的价格是10（S0=10），3个月後的价格要么是12，要么是8，那么3个月後到期、执行价格K为10的平值（at the money）欧式（European）买权（call）的价格（C0）是多少？
首先，我们知道3个月後（买权到期时）买权的价格应该是多少。股价上涨至12时，买权价值为2，股价下跌至8时，买权价值为0。



Sloan绘制
知道股票和买权在两种情况下的价格，就可以构造一个无风险（收益没有不确定性）的组合。1份股票多头和2份买权空头的组合就可以使得3个月後的现金流没有任何不确定性。（验证：股价上涨至12时，该组合的收益是12-（2×2）=8；股价下跌至8时，该组合的收益是8-（2×0）=8）
（构造组合的实质是解线性方程（组），建议笔者参考《债券的久期/存续期间（duration）和凸性（convexity）》，利用久期/存续期间（duration）和凸性（convexity）对冲债券组合和本例中利用期权对冲股票的原理是相似的。）
知道一个资产组合在3个月後将确定无误地提供8的收益，那么根据无套利均衡原理，这个资产组合的成本（在今天的价格）应该是8的无风险利率贴现值。
（关於无套利均衡原理，建议读者参考《简谈远期定价：无套利均衡的成本-收益分析》
关於无风险利率，建议读者参考《简谈关於利率的几个最基本的问题：国债收益率曲线、OIS零息利率曲线》)

假设今天的3个月无风险利率是4%（已年化），那么8的贴现值约为7.92（8/1.01）（3个月年化利率为4%，也就是说，季度利率为1%，贴现因子为1.01），这是1份股票多头和2份买权空头在今天的理论价格，即S0-2×C0=7.92（S0=10为今天的股价，C0为今天的买权价格），因此，买权价格应该为1.04。

忽略所有的数学过程，将本例中的所有数值转化为数学符号就得到一般形式的二项期权定价公式：


注：上式中，f是今天的期权价格（本例是买权价格1.04），e^-rT是连续形式的无风险利率贴现因子（本例的无风险利率贴现因子是1/1.01）,fu是期权到期时标的资产上涨的情况下的期权价值（本例为2），fd是期权到期时标的资产下跌的情况下的期权价值（本例为0），p和（1-p）分别是风险中性世界中标的资产上涨和下跌的概率。u是标的资产上涨後的价格与初始价格的比率（本例中为12/10=1.2），d是标的资产下跌後的价格与初始价格的比率(本例中为8/10=0.8)。

为什么可以写成这种形式？因为对构造的资产组合定价使用无风险利率定价，相当於在一个风险中性世界中，分别对标的资产和期权使用无风险利率定价，上式就是期权在风险中性世界中的无风险利率定价公式。


风险中性定价（RISK-NEUTRAL VALUATION）
何为风险中性（risk-neutral）？简单来说，就是投资者认为确定的现金流与不确定的现金流的价值相等。

举例来说，如果有两项投资，第一项投资可以确定地得到100美元，第二项投资有50%的概率得到120美元，有50%的概率得到80美元（第二项投资的期望收益为100美元），如何评价这两项投资？
风险厌恶（risk aversion）者认为第一项投资优於第二项投资；
风险爱好（risk seeking）者认为第一项投资差於第二项投资；
风险中性（risk neutral）者认为二者无差异。

风险中性世界中，期望收益（本例为[ p×fu+(1-p)×fd ]）按无风险利率（本例为e^rT）定价（类似地，风险厌恶世界中期望收益按高於无风险利率的贴现率定价，因为风险厌恶者需要更多补偿以接受风险；风险爱好世界中期望收益按低於无风险利率的贴现率定价）

风险中性世界和现实世界有什么关系？
笔者认为，将复杂的现实世界的期权定价问题转化为较为简单的风险中性世界的期权定价问题，是一种转化的思想，并且是经得起科学检验的方法论。（本文省略了所有的数学证明过程）


二项分布（BINOMIAL DISTRIBUTION）与现实世界的关系
现实世界中，有理由认为标的资产价格或者其收益率在一定时间内服从正态/常态分布（normal distribution）。数学中，二项分布（binomial distribution）的极限是正态/常态分布（normal distribution）。因此，可以通过增加二项分布的次数（二叉树的步数）来近似现实世界。（现实世界中，资产报价存在最小单位，并非真正意义上的连续分布）对二项期权定价公式取极限，就能得到BSM期权定价公式。

二项期权定价模型（BOPM）的核心思想是将复杂的现实世界转化为简单的风险中性世界，并在这个世界中，将复杂的正态/常态分布（normal distribution）转化为简单的二项分布（binomial distribution）。当问题简化後，再利用对冲/套期保值/避险（hedge）的方法以及无套利均衡（no-arbitrage equilibrium）的原理对期权进行定价。

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